Presentation
De nouvelles méthodes ont récemment fait leur apparition en théorie des représentations et en topologie quantique, qui reposent sur la notion de représentations d'algèbres de Kac-Moody dans des catégories. Ces nouvelles méthodes ont déjà eu de remarquables applications. En théorie des représentations, les représentations catégoriques ont permis de démontrer des cas particuliers importants de la conjecture de Broué concernant les représentations modulaires des groupes réductifs finis (en caractéristique inégale). Elles donnent aussi une meilleure compréhension des conjectures de Lusztig sur les représentations modulaires des groupes algébriques. Elles donnent encore des formules de caractères pour les modules simples de la catégorie O à la Bernstein-Gelfand-Gelfand des algèbre de Hecke doublement affines cyclotomiques rationelles. En topologie (quantique) les représentations catégoriques des algèbres de Kac-Moody donnent de nouveaux invariants de noeuds qui raffinent les invariants de Reshetikhin-Turaev, telle l'homologie de Khovanov, qui ont permi, en particulier, de détecter le noeud trivial. D'autre types de représentations dans des catégories ont aussi fait leur apparition, telles les représentations catégoriques des algèbres de Heisenberg. Celles-ci sont encore mal comprises. Inspirée par des travaux de physiciens en théorie de gauge, une nouvelle approche a été proposée pour les invaraints de noeuds. Elle repose sur la thérie des représentations des algèbres de Hecke doublement affines. D'autre part, la théorie des représentations des groupes quantiques a pris une importance considérable dans le calcul de la cohomologie quantique équivariante ou de la K-théorie quantique équivariante de variétés importantes telles les variétés de drapeaux ou les variétés de carquois de Nakajima. Bien que la relation entre cohomologie quantique des variétés de drapeaux et le système de Toda soit apparu au tout début de la théorie dans les travaux de Givental, la relation entre algèbres de Bethe, algèbres de Hecke doublement affines, dualité symplectique et cohomologie quantique équivariante ou K-théorie quantique demeure mal comprise. Le but de ce projet est de réunir des spécialistes des représentations catégoriques dans différents domaines en théorie des représentations ainsi que des topologues et des géomètres, de telle façon que tous les membres du projet puissent profiter de leurs interactions mutuelles. Ce projet réunit 10 mathématiciens venant de 9 universités et leurs donnera la possibilité d'organiser rencontres et collaborations, ainsi que d'inviter des chercheurs étrangers afin de travailler sur ces nouvelles structures mathématiques. Afin de promouvoir ce domaine de recherche, une attention particulière sera portée aux jeunes chercheurs. Ce projet permettra de trouver de nouvelles applications des représentations catégoriques aux représentations des groupes quantiques de type affine ou aux catégories de fusion associées aux groupes réductifs finis, mais aussi aux invariants de noeuds et de variétés de dimension 3 ou à la cohomologie et la K-théorie quantique des variétés de drapeaux et des variétes de carquois.
